Question

10．函数y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）（k∈N₊），若对任意的m∈R，在[m，m+1]之间f（x）至少取得最大值、最小值各一次，求实数k的最小值，并就最小的k值求出最小正周期及对称中心．

Answer 1

分析 由函数y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）在区间[m，m+1]（m∈R）上至少有一个最大值和最小值，可得T=$\frac{2π}{k}$≤1，由此求得实数k的最小值；把k代入函数解析式，进一步求出周期；再由相位的终边落在y轴上求得x值，则函数的对称中心可求．

解答 解：函数y=3cos（kx+$\frac{π}{4}$）在区间[m，m+1]（m∈R）上至少有一个最大值和最小值，
则函数f（x）的最小正周期一定不大于（m+1）-m=1，
∴T=$\frac{2π}{k}$≤1，
∴k≥2π≈2×3.14=6.28，
∴k的最小自然数为7；
当k=7时，y=3cos（7x+$\frac{π}{4}$），
函数的最小正周期$T=\frac{2π}{7}$；
由7x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+nπ，n∈Z$，解得$x=\frac{π}{28}+\frac{nπ}{7}，n∈Z$．
∴函数的对称中心为（$\frac{π}{28}+\frac{nπ}{7}，0$），n∈Z．

点评 本题考查三角函数的周期及其求法，考查了三角函数的对称性，理解在[m，m+1]之间f（x）至少取得最大值、最小值各一次是解答此题的关键，是中档题．