Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最大距离为$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，且点M（1，e）在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，A、B是椭圆C上的两点，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出面积，利用配方法可求最值，从而可得结论．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=1
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此时S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}•\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
又△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$ ①，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$及|AB|=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$ ②，
由①②可得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原点O到直线AB的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}$$（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=3-\frac{2}{1+{k}^{2}}∈[1，3）$，
∴$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2∈[-1，1）$，
则${S}^{2}∈[\frac{9}{16}，\frac{3}{4}]$，
∴S$∈[\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故△AOB的面积的取值范围是$[\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．