Question

4．设函数f（x）=x${\;}^{3}-\frac{9}{2}{x}^{2}+6x-a$．
（1）求f（x）的极值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过导数为0，求出极值点．利用函数的单调性求解极值即可．
（2）利用函数的极值结合函数的零点，求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x${\;}^{3}-\frac{9}{2}{x}^{2}+6x-a$．
可得f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
令 f′（x）=0解得 x=1，x=2…..2分
 

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增	$\frac{5}{2}-a$	减	2-a	增

…..6分
当 x=1时，f（x）取得极大值为 $f（1）=\frac{5}{2}-a$，
当 x=2时取得极小值为 f（2）=2-a…..8分
（2）由上表可知当f（2）＞0  或 f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根．
解得a＜2 或a＞$\frac{5}{2}$．…12分．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值，考查计算能力．