Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{2}{（lg{a}_{n}）（lg{a}_{n+1}）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=9S_n+10化简可得a_n+1=10a_n，（n≥2）；再求得a₁=10，a₂=100，a₃=1000；从而证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=10ⁿ，lga_n=n，从而化简b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而求和．

解答 证明：（Ⅰ）∵a_n+1=9S_n+10，∴a_n=9S_n-1+10，
∴a_n+1-a_n=9a_n，∴a_n+1=10a_n，（n≥2）；
∵a₁=10，a₂=9S₁+10=90+10=100，
a₃=9S₂+10=990+10=1000；
故数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=10ⁿ，lga_n=n，
故b_n=$\frac{2}{（lg{a}_{n}）（lg{a}_{n+1}）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了a_n与S_n的关系式的应用及等比数列的判断，同时考查了裂项求和法的应用．