Question

9．已知函数f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞1）．
（1）求证函数f（x）为奇函数；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）证明f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 （1）先判断函数的定义域是否对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而可得绪论；
（2）结合指数函数的图象和性质，利用分析法，可得函数的值域；
（3）结合指数函数的图象和性质，利用分析法，可得f（x）在R上是增函数．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞1）的定义域为R，
且f（-x）=1-$\frac{2}{{a}^{-x}+1}$=1-$\frac{2{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=-1+$\frac{2{\;}^{\;}}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
解：（2）∵a^x+1＞1，
∴0＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜2，
∴-2＜-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜0，
∴-1＜1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1），
证明：（3）∵a＞1，
∴y=a^x在R上为增函数，
∴y=a^x+1在R上为增函数，
∴y=$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上为减函数，
∴y=-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上为增函数，
∴y=1$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上为增函数，
即f（x）在R上为增函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的值域，指数函数的图象和性质，难度中档．