Question

8．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λ，5），$\overrightarrow{O{B}_{n}}$=（n（$\frac{2}{3}$）ⁿ，0）（n∈N^*），$\overrightarrow{O{C}_{k}}$=（0，k）（k∈N^*），a_n=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{B}_{n}}$，b_k=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{O{C}_{k}}$|²，λ＞0．
（1）求数列{a_n}，{b_k}的通项公式；
（2）若对任意n，k∈N^*，总有b_k-a_n＞$\frac{1}{9}$成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算得到数列{a_n}，{b_k}的通项公式；
（2）分别分析数列{a_n}，{b_k}的通项中的最值项，找出使b_k-a_n＞$\frac{1}{9}$成立的不等式${b_5}-{a_2}＞\frac{1}{9}$解之．

解答 解：（ 1）${a_n}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{O{B_n}}=λn{（\frac{2}{3}）^n}$，${b_k}=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O{C_k}}{|^2}={λ^2}+{（k-5）^2}$…（2分）
（ 2）${（{b_k}）_{min}}={b_5}={λ^2}$…（3分）
${a_{n+1}}-{a_n}=λ（n+1）{（\frac{2}{3}）^{n+1}}-λn{（\frac{2}{3}）^n}=λ{（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}[2（n+1）-3n]=λ{（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}（2-n）$
①当n=1时，a₂-a₁＞0即a₁＜a₂；
②当n=2时，a₃-a₂=0即a₃=a₂；
③当n≥3时，${a_{n+1}}-{a_n}=λ{（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}（2-n）＜0$，即a_n＞a_n+1；
由①②③可知${（{a_n}）_{max}}={a_2}={a_3}=\frac{8}{9}λ$…（5分）
所以b_k-a_n≥b₅-a₂
要使对任意n，k∈N^*，总有${b_k}-{a_n}＞\frac{1}{9}$成立，只须满足${b_5}-{a_2}＞\frac{1}{9}$…（8分）
即${λ^2}-\frac{8}{9}λ＞\frac{1}{9}$，整理得9λ²-8λ-1＞0
解得λ＞1或$λ＜-\frac{1}{9}$（舍去）
∴λ＞1．…（9分）

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及数列与不等式相结合的恒成立问题；关键是通过n的取值分析到b_k-a_n≥b₅-a₂．