Question

11．如图：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱垂直与底面，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求点B₁到平面EA₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （ I）过B作CD的垂线交CD于F，利用勾股定理证明BE⊥BC，再根据BE⊥BB₁，且BB₁∩BC=B，利用直线和平面垂直的判定定理证得BE⊥平面BB₁C₁C．
（ II）由条件利用等体积法求得点B₁到平面EA₁C₁的距离．

解答 解：（ I）证明：过B作CD的垂线交CD于F，
则BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB-DE=1，FC=2．
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{3}$，在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{6}$．
在△BCE中，因为BE²+BC²=9=EC²，所以BE⊥BC．
由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，又BB₁∩BC=B，所以BE⊥平面BB₁C₁C．
（ II）三棱锥E-A₁B₁C₁ 的体积V=$\frac{1}{3}$AA₁•${S}_{{{{△A}_{1}B}_{1}C}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△A₁C₁D₁中，A₁C₁=$\sqrt{{{{A}_{1}D}_{1}}^{2}{{{+D}_{1}C}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
同理，EC₁=$\sqrt{{EC}^{2}{{+CC}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，EA₁=$\sqrt{{AD}^{2}{+ED}^{2}{{+AA}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
因此 ${S}_{{{△A}_{1}C}_{1}E}$=3$\sqrt{5}$．
设点B₁ 到平面EA₁C₁的距离为d，则三棱锥B₁-EA₁C₁ 的体积 V=$\frac{1}{3}$•d•${S}_{{{△A}_{1}C}_{1}E}$=$\sqrt{5}$d，
从而 $\sqrt{5}$d=$\sqrt{2}$，d=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．