题目内容
【题目】在中,已知
,
,
,
是边
上一点,将
沿
折起,得到三棱锥
。若该三棱锥的顶点
在底面
的射影
在线段
上,设
,则
的取值范围为______.
【答案】
【解析】
解可得其为等腰直角三角形,有题意可知折叠前图(1)中
,根据等腰直角三角形位置关系可推出
,在(2)图中,
为
的斜边,得
,即可得出答案.
在中,
,
,
,
由余弦定理得,
,
所以为等腰直角三角形.
由将沿
折起,得到三棱锥
,
且在底面
的射影
在线段
上,
如图2所示,平面
,则
,
过做
,垂足为
,连
,
所以平面
,所以
,
在折叠前图1中,由,
,
所以三点共线.取
中点
,
连交
于
,由
为等腰直角三角形,
所以在线段
之间,故
为钝角,
,所以
在
之间,得
在
之间,
所以,即
.
在图2中,由于为
的斜边,
为直角边,所以
,即
.
所以.
故答案为:.

【题目】为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值,越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程,甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查,其中男生60人,且抽取的男生中对游泳有兴趣的占,而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.
(1)试完成下面的列联表,并判断能否有
的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生,其中3名对游泳有兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
(3)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖,如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量
的分布列及数学期望.
班级 | |||||||||||
市级比赛 获奖人数 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市级以上比赛获奖人数 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】到2020年,我国将全面建立起新的高考制度,新高考采用模式,其中语文、数学、英语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣、爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门(6选3)参加考试,满分各100分.为了顺利迎接新高考改革,某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名(其中男生550名,女生450名)学生中抽取了
名学生进行调查.
(1)已知抽取的名学生中有女生45名,求
的值及抽取的男生的人数.
(2)该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目,且只能选择一个科目),得到如下
列联表.
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
(i)请将列联表补充完整,并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.
(ii)在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名学生中抽取2名,求这2名中至少有1名男生的概率.
附:,其中
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0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |