Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，下列条件不能推出B≤60°的是（　　）

• A． a，b，c成等比数列
• B． a，b，c成等差数列
• C． 1+2cos2B≥0
• D． S≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+c²-b²）

Answer 1

分析 由题意，判断选项是否推出cosB$≥\frac{1}{2}$即可．

解答 解：对于A，a，b，c成等比数列，则b²=ac，所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，所以B≤60°；
对于B，a，b，c成等差数列，则2b=a+c，所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{（a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，所以B≤60°；
对于C，1+2cos2B≥0，则cos2B≥$-\frac{1}{2}$，所以0≤2B≤120°或者240°≤2B＜360°，所以B≤60°或者120°≤B＜180°；
对于D，由S≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+c²-b²）得到$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2accosB），所以0＜tanB≤$\sqrt{3}$，得到B≤60°．
故选C．

点评 本题考查了利用余弦定理解三角形、利用基本不等式求最值．