题目内容

13.若${(a{x^2}+\frac{b}{x})^6}$的展开式中x3的系数为20,则a2+b2的最小值为(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 根据题意,求出x3的系数,得出ab的值,再利用基本不等式求出a2+b2的最小值.

解答 解:∵${({ax}^{2}+\frac{b}{x})}^{6}$的展开式中x3的系数为20,
且Tr+1=${C}_{6}^{r}$•(ax26-r•${(\frac{b}{x})}^{r}$=a6-r•br•${C}_{6}^{r}$•x12-3r
令12-3r=3,
解得r=3;
∴a3•b3•${C}_{6}^{3}$=20;
∴ab=1,
∴a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b时,取“=”;
∴a2+b2的最小值为2.
故选:B.

点评 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了基本不等式的应用问题,是基础题目.

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