题目内容
13.若${(a{x^2}+\frac{b}{x})^6}$的展开式中x3的系数为20,则a2+b2的最小值为( )A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 根据题意,求出x3的系数,得出ab的值,再利用基本不等式求出a2+b2的最小值.
解答 解:∵${({ax}^{2}+\frac{b}{x})}^{6}$的展开式中x3的系数为20,
且Tr+1=${C}_{6}^{r}$•(ax2)6-r•${(\frac{b}{x})}^{r}$=a6-r•br•${C}_{6}^{r}$•x12-3r,
令12-3r=3,
解得r=3;
∴a3•b3•${C}_{6}^{3}$=20;
∴ab=1,
∴a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b时,取“=”;
∴a2+b2的最小值为2.
故选:B.
点评 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了基本不等式的应用问题,是基础题目.
练习册系列答案
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