题目内容

13．若${（a{x^2}+\frac{b}{x}）^6}$的展开式中x3的系数为20，则a2+b2的最小值为（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 根据题意，求出x3的系数，得出ab的值，再利用基本不等式求出a2+b2的最小值．

解答 解：∵${（{ax}^{2}+\frac{b}{x}）}^{6}$的展开式中x3的系数为20，
且Tr+1=${C}_{6}^{r}$•（ax2）6-r•${（\frac{b}{x}）}^{r}$=a6-r•br•${C}_{6}^{r}$•x12-3r，
令12-3r=3，
解得r=3；
∴a3•b3•${C}_{6}^{3}$=20；
∴ab=1，
∴a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b时，取“=”；
∴a2+b2的最小值为2．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．

练习册系列答案
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