Question

18．已知a，b∈R，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx²+4-5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=a（lnx+1）+$\frac{2}{x}$，g′（x）=2bx+4；从而可得b+4-5=0，a+2=2b+4；从而求参数的值；
（2）要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，只证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）-g（x），从而求导F′（x）=4lnx+$\frac{4x+2}{x}$-2x-4=4lnx+$\frac{2}{x}$-2x；从而化为恒成立问题，再转化为最值问题．

解答 解：（1）∵f′（x）=a（lnx+1）+$\frac{2}{x}$，g′（x）=2bx+4；
∴f′（1）=a+2，g′（1）=2b+4；
又∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在点（1，0）处有相同的切线，
∴f（1）=0=g（1）=b+4-5，f′（1）=g′（1）；
即b+4-5=0，a+2=2b+4；
从而解得，b=1，a=4；
（2）证明：要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，
即需证f（x）＜g（x）（x≠1），
不妨设F（x）=f（x）-g（x），
则F（x）=（4x+2）lnx-x²-4x+5；
∴F′（x）=4lnx+$\frac{4x+2}{x}$-2x-4=4lnx+$\frac{2}{x}$-2x；
令G（x）=F′（x），
∴G′（x）=$\frac{4}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-2≤0恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵F′（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0；
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
即当x=1时，F（x）取得最大值F（1）=0．
∴当x≠1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）；
∴当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．