题目内容
4．若正数a，b满足：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$则$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$的最小值为（ ）| A． | 2 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | 1 |
分析 由题意可得b=$\frac{2a}{a-1}$且a-1＞0，代入消元并化简可得$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2}$，由基本不等式可得．
解答 解：∵正数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
∴b=$\frac{2a}{a-1}$，由b=$\frac{2a}{a-1}$＞0可得a-1＞0，
∴$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{\frac{2a}{a-1}-2}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2a-2（a-1）}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a-1}•\frac{a-1}{2}}$=2
当且仅当$\frac{2}{a-1}$=$\frac{a-1}{2}$即a=b=3时取等号
故选：A
点评 本题考查基本不等式求最值，消元并转化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
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15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B=60°，a+c=1，则b的取值范围为（ ）
| A． | [$\frac{1}{2}$，1） | B． | [$\frac{1}{4}$，1） | C． | [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$） | D． | （0，1） |
19．若θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=$\frac{1}{8}$，则sinθ+cosθ=（ ）
| A． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D． | $-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ |
16．
棱长相等的三棱锥A-BCD的俯视图是边长为2的正方形，如图所示，若该几何体的另一个棱长都相等的三棱锥A′-B′C′D′纸盒内可以任意转动，则三棱锥A′-B′C′D′的棱长的最小值为（ ）
棱长相等的三棱锥A-BCD的俯视图是边长为2的正方形，如图所示，若该几何体的另一个棱长都相等的三棱锥A′-B′C′D′纸盒内可以任意转动，则三棱锥A′-B′C′D′的棱长的最小值为（ ）| A． | 3$\sqrt{6}$ | B． | 8 | C． | 6$\sqrt{3}$ | D． | 6$\sqrt{2}$ |