题目内容
1．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{3}$，（i）若|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$，则向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夹角余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（ii）若$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为-3．
分析 （i）根据平面向量的数量积，对|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$两边平方，求出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞的值即可；
（ii）根据$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，进行计算即可．
解答 解：（i）∵|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{3}$，且|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=32+2×3×2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+${（2\sqrt{3}）}^{2}$
=21+12$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=${（3\sqrt{3}）}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
即向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（ii）∵$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即32+3×2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为
|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=2$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3．
故答案为：（1）$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（ii）-3．
点评 本题考查了平面向量的数量积以及向量投影的计算问题，是基础题目．
如图，某单位准备绿化一块直径AB=a的半圆形空地，△ABC以外地方种草，△ABC的内接正方形PQMN为一水池，其余的地方种花，设∠BAC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQMN的面积为S2．