题目内容
【题目】已知数列(其中第一项是
,接下来的
项是
,再接下来的
项是
,依此类推)的前
项和为
,下列判断:
①是
的第
项;②存在常数
,使得
恒成立;③
;④满足不等式
的正整数
的最小值是
.
其中正确的序号是( )
A.①③B.①④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】
找出数列的规律:分母为
的项有
项,并将这些项排成杨辉三角形式的数阵,使得第
有
项,每项的分母均为
,并计算出每行各项之和
,并计算出数列
的前
项和
,结合这些规律来判断各题的正误。
由题意可知,数列的规律为:分母为
的项有
项,将数列
中的项排成杨辉三角数阵,且使得第
行每项的分母为
,该行有
项,如下所示:
对于命题①,位于数阵第
行最后一项,对应于数列
的项数为
,命题①正确;
对于命题②,数阵中第行各项之和为
,则
,
且数列的前
项之和为
,
当时,
,因此,不存在正数
,使得
,命题②错误;
对于命题③,易知第行最后一项位于数列
的项数为
,
第行最后一项位于数列
的项数为
,且
,
则位于数阵第
行第
项(即
),
所以,
,命题③错误;
由①知,,且
,
则恰好满足的项
位于第
行,假设位于第
项,
则有,可得出
,
由于,
,则
,
,
因此,满足的最小正整数
,命题④正确。
故选:B.
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