题目内容

【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.

【答案】
(1)解:设{an}的公差d≠0.∵a1,a2,a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.

,即 ,4a1+ =16,

解得a1=1,d=2,

∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.

∴b1=1,b2=3,公比q=3.

∴bn=3n﹣1


(2)解:Sn= =n2.∴ =

∵数列{ }为等差数列,

= + ,t2﹣2t=0.

解得t=2或0,经过验证满足题意.


(3)解:由(1)可得:Sn=n2,数列{bn}的前n项和An= = .数列{An}的前n项和Un= n= n.

数列a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,…,ak,b1,b2,…,bk,…,

∴该数列前k+ = 项和=k2+ (k﹣1),

∵37=2187,38=6561.

∴取k=8,可得前 =36项的和为: =1700,

令Tn=1821=1700+ ,解得m=5.

∴n=36+5=41.


【解析】(1)设{an}的公差d≠0.由a1,a2,a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.可得 ,即 ,4a1+ =16,解得a1,d,即可得出.(2)Sn= =n2.可得 = .根据数列{ }为等差数列,可得 = + ,t2﹣2t=0.

解得t.(3)由(1)可得:Sn=n2,数列{bn}的前n项和An= = .数列{An}的前n项和Un= n= n.数列a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,…,ak,b1,b2,…,bk,…,可得:该数列前k+ = 项和=k2+ (k﹣1),根据37=2187,38=6561.进而得出.

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