题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4.设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

【答案】
(1)解:联立得:

解得:

∴圆心C(3,2).

若k不存在,不合题意;

若k存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即 =1,

解得:k=0或k=﹣

则所求切线为y=3或y=﹣ x+3;


(2)解:设点M(x,y),由MA=2MO,知: =2

化简得:x2+(y+1)2=4,

∴点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,

又∵点M在圆C上,C(a,2a﹣4),

∴圆C与圆D的关系为相交或相切,

∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=

∴1≤ ≤3,

解得:0≤a≤


【解析】(1)联立直线l与直线y=x﹣1解析式,求出方程组的解得到圆心C坐标,根据A坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出切线方程即可;(2)设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,由M在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范围.
【考点精析】通过灵活运用点到直线的距离公式,掌握点到直线的距离为:即可以解答此题.

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