题目内容
【题目】已知可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若不等式对于恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
试题依题意,g(x)+h(x)=.....(1),∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x);∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x);
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=,g(x)=
∴ag(x)+h(2x)=a+,∴a·+≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=,∴=,当x∈[1,2]时,t∈[2,4],
∴原不等式化为a(t-)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立,由不等式a(t-)+(t2+)≥0,
可得a(t-)≥-(t2+),∵当t∈[2,4]时,t-t>0恒成立,∴a≥==,即a≥在t∈[2,4]上恒成立,
令u=t-,求导得=1+>0恒成立,∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[],令f(u)=u+,u∈[],
求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立,∴f(u)在u∈[]上单调递增
即当u=,f(u)取最小值f()=,
当u=时,可解得t=2(另一根不在t∈[2,4]内故舍去)
∴当t=2时,取最小值为,即取最大值为-,∴a≥-,当t=2,x=1时取等号,∴a的最小值为-.
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