题目内容
【题目】已知可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若不等式
对于
恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
试题依题意,g(x)+h(x)=.....(1),∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x);∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x);
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=,g(x)=
∴ag(x)+h(2x)=a+
,∴a·
+
≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=,∴
=
,当x∈[1,2]时,t∈[2,4],
∴原不等式化为a(t-)+(t2+
)≥0在t∈[2,4]上恒成立,由不等式a(t-
)+(t2+
)≥0,
可得a(t-)≥-(t2+
),∵当t∈[2,4]时,t-
t>0恒成立,∴a≥
=
=
,即a≥
在t∈[2,4]上恒成立,
令u=t-,求导得
=1+
>0恒成立,∴u=t-
在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[],令f(u)=u+
,u∈[
],
求导得(u)=1-
>0在u∈[
]上恒成立,∴f(u)在u∈[
]上单调递增
即当u=,f(u)取最小值f(
)=
,
当u=时,可解得t=2(另一根不在t∈[2,4]内故舍去)
∴当t=2时,取最小值为
,即
取最大值为-
,∴a≥-
,当t=2,x=1时取等号,∴a的最小值为-
.

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