题目内容
如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足
,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在
平面上的射影恰好在上.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在
平面上的射影恰好在上.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
(1)先证(2)
试题分析:⑴证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有,
因为平面,平面,所以平面
⑵解法1、
如图,在图乙中作,垂足为,连接,
由于平面,则,
所以平面,则,
所以平面与平面所成二面角的平面角,
图甲中有,又,则三点共线,
设的中点为,则,易证,所以,,;
又由,得,
于是,,
在中,,即所求二面角的余弦值为.
解法2、
如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则,
所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线,
设的中点为,则,易证,所以,则;
又由,得,
于是,,
在中,
作交于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则、、、,则
显然,是平面的一个法向量,
设是平面的一个法向量,则,即,不防取,则,
设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,
平面与平面, 所成二面角的余弦值为.
点评:本题考查线面平行,考查线面角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于
中档题.
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