题目内容

如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足
,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点
平面上的射影恰好在上.

(1)证明:平面
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
(1)先证(2)

试题分析:⑴证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有,           
因为平面平面,所以平面
⑵解法1、
如图,在图乙中作,垂足为,连接
由于平面,则,                      
所以平面,则,                      
所以平面与平面所成二面角的平面角,     
图甲中有,又,则三点共线,     
的中点为,则,易证,所以,
又由,得,            
于是,,                                
中,,即所求二面角的余弦值为


解法2、
如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则,                                                
所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线,                                                     
的中点为,则,易证,所以,则
又由,得,               
于是,
中,       
于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则,则 
显然,是平面的一个法向量,           
是平面的一个法向量,则,即,不防取,则,                                       
设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,
平面与平面, 所成二面角的余弦值为.                                                      
点评:本题考查线面平行,考查线面角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于
中档题.
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