Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，根据平面向量数量积的定义证明向量性质：|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，并用该性质证明不等式：（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义便有$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|$$≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，从而得出原不等式成立，并能看出当$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$中有一个为零向量或都为零向量时，原不等式也成立．观察要证的第二个不等式，可想到设$\overrightarrow{a}=（m，n）$，$\overrightarrow{b}=（p，q）$，利用$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$便可证出第二个不等式成立．

解答 证明：$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＞|$；
$|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|≤1$；
∴$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，显然$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$中有一个为零向量或都为零向量时该不等式也成立；
设$\overrightarrow{a}=（m，n）$，$\overrightarrow{b}=（p，q）$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=mp+nq$；
∴$|mp+nq|=|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（{m}^{2}+{n}^{2}）}•\sqrt{（{p}^{2}+{q}^{2}）}$；
∴（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）；
综上得原不等式成立．

点评 考查数量积的定义，及计算公式，数量积的坐标运算，可根据向量坐标求向量长度，构造向量解题的方法．