Question

8．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点是F（c，0），左右顶点分别为A，B，上下顶点分别是C，D，且点P（2a，b）满足PF⊥CF，
（Ⅰ）求椭圆E的离心率，并证明P，B，D三点共线；
（Ⅱ）对于给定的椭圆E，若点R（2a，3c），过点A的直线l与椭圆E相交于另一点Q，当△AQR的面积最大等于9，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用PF⊥CF，得到$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{CF}=0$，推出a²=b²+c²=2ac，求出椭圆E的离心率，求出P，B，D三点坐标，利用斜率相等判断P，B，D三点共线．
（Ⅱ）求出直线AR的方程，推出$|AR|=3\sqrt{5}c$，设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入椭圆方程，设点Q的坐标为（x₁，y₁），求解点Q坐标，利用Q到直线AR的距离，求出三角形的面积
法一：设2k-1=t，若t=0，当t≠0时，分别评价三角形的面积的最大值，由S_△AQR的最大值是9，求解直线l的方程是x+2y+2=0．
法二：设$f（k）=\frac{2k-1}{{3+4{k^2}}}$，求出导函数，令f'（k）=0得，$k=-\frac{1}{2}$，或$k=\frac{3}{2}$，利用函数的单调性求解函数的最值，然后求解直线方程．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题可知点C（0，b），$\overrightarrow{PF}=（c-2a，-b），\overrightarrow{CF}=（c，-b）$，
因为PF⊥CF，所以$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{CF}=0$，即（c-2a）c+（-b）²=0，…（1分）∴a²=b²+c²=2ac，故椭圆E的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．…（2分）
此时$a=2c，b=\sqrt{3}c$，所以点$P（4c，\sqrt{3}c）$，$B（2c，0），D（0，-\sqrt{3}c）$，
所以${k_{BP}}=\frac{{\sqrt{3}c-0}}{4c-2c}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${k_{BD}}=\frac{{-\sqrt{3}c-0}}{0-2c}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故P，B，D三点共线．…（4分）
（Ⅱ）依题可知直线AR的方程为$y-0=\frac{3c-0}{2a-（-2c）}（x+2c）$，
即x-2y+2c=0，且$|AR|=3\sqrt{5}c$，…（5分）
可设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入E方程3x²+4y²=12c²整理得（3+4k²）x²+16ck²x+16c²k²-12c²=0，…（6分）
由于-2c是上述方程的一个根，因此设点Q的坐标为（x₁，y₁），有$-2c{x_1}=\frac{{16{c^2}{k^2}-12{c^2}}}{{3+4{k^2}}}⇒{x_1}=\frac{{6c-8c{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_1}=\frac{12ck}{{3+4{k^2}}}$…（7分）
故点Q到直线AR的距离等于$d=\frac{{|{x_1}-2{y_1}+2c|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{12c}{{\sqrt{5}}}|\frac{2k-1}{{3+4{k^2}}}|$，…（8分）
所以${S_{△AQR}}=\frac{1}{2}|AR|•d=18{c^2}|\frac{2k-1}{{3+4{k^2}}}|$，…（9分）
法一：设2k-1=t，若t=0，则S_△AQR=0，
当t≠0时，${S_{△AQR}}=18{c^2}|\frac{t}{{{t^2}+2t+4}}|=18{c^2}\frac{1}{{|t+\frac{4}{t}+2|}}$…（10分）
若t＞0，则${S_{△AQR}}≤3{c^2}$；若t＜0，则${S_{△AQR}}≤9{c^2}$（当且仅当t=-2取等号）
综上可知S_△AQR的最大值是9c²…（12分）
由S_△AQR的最大值是9可知$c=1，k=-\frac{1}{2}$，故直线l的方程是x+2y+2=0．…（13分）
法二：设$f（k）=\frac{2k-1}{{3+4{k^2}}}$，则$f'（k）=\frac{{2（3+4{k^2}）-（2k-1）×8k}}{{{{（3+4{k^2}）}^{\;}}}}=\frac{2（3-2k）（2k+1）}{{{{（3+4{k^2}）}^{\;}}}}$，…（10分）
令f'（k）=0得，$k=-\frac{1}{2}$，或$k=\frac{3}{2}$，可知f（k）在区间$（-∞，-\frac{1}{2}）$内单调递减，在$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$内单调递增，在$（\frac{3}{2}，+∞）$内单调递减，又当k趋向于无穷大时f（k）的值趋向于0，并且在$（-∞，\frac{1}{2}）$内f（k）＜0，在$（\frac{1}{2}，+∞）$内f（k）＞0，…（11分）
因此，f（k）的最大值是$f（\frac{3}{2}）=3{c^2}$，f（k）的最小值是$f（-\frac{1}{2}）=-9{c^2}$，…（12分）
所以S_△AQR的最大值是$|f（-\frac{1}{2}）|=9{c^2}=9$．由此可知c=1，直线l的方程是x+2y+2=0…（13分）
（注：还有其它解法，如设点Q的坐标为$（2ccosθ，\sqrt{3}csinθ）$，用点到直线的距离公式；或数形结合求出与直线AR平行且与椭圆相切的直线等．请老师们参照给分）

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，三角形的面积最值的求法，韦达定理以及弦长公式的应用，椭圆方程的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．