Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AD⊥CD，BC⊥BD，∠BAD=60°，SD=AD=AB，E是SB的中点．
（1）证明：BC⊥DE．
（2）证明：平面SBC⊥平面ADE．
（3）求二面角B-SC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的性质得到BC⊥SD，再由已知BC⊥BD，利用线面垂直的判断BC⊥面SBD，进一步得到BC⊥DE；
（2）由已知可得△ABD为等边三角形，则SD=BD，再由E为SB的中点，得到DE⊥SB，结合已知利用线面垂直的判定得，DE⊥平面SBC，再由面面垂直的判断得答案；
（3）在图中作出二面角B-SC-D的平面角，然后通过解三角形求得边长，再解直角三角形求得二面角B-SC-D的正弦值．

解答 （1）证明：如图，
∵SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥SD，
又∵BC⊥BD，SD∩BD=D，∴BC⊥面SBD，
∵DE?面SBD，∴BC⊥DE；
（2）证明：∵SD=AD=AB，∠ABD=60°，∴△ABD为等边三角形，则SD=BD，
又E为SB的中点，∴DE⊥SB，
又∵BC⊥DE，SB∩BC=B，∴DE⊥平面SBC，
又DE?平面SBD，∴平面SBC⊥平面ADE；
（3）解：过E作EF⊥SC于F，连DF，∴DF⊥SC，则∠DEF为二面角B-SC-D的平面角；
在Rt△SDB中，设SD=a，由（2）中证得的SD=BD，可得BD=a，
∴$SB=\sqrt{S{D}^{2}+B{D}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2}a$，
∴$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，\frac{DB}{DC}=cos{30°}，DC=\frac{DB}{{cos{{30}°}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$，
∴$DF×SC=SD×DC，SC=\sqrt{{a^2}+\frac{12}{9}{a^2}}=\frac{{\sqrt{21}}}{3}a$，
∴$DF=\frac{{a×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{3}a}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}a$，
则$sin∠EDF=\frac{DE}{DF}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a×\frac{7}{{2\sqrt{7}a}}=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$．
∴二面角B-SC-D的正弦值为$\frac{{\sqrt{14}}}{4}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．