Question

18．已知数列{a_n}的前n项的和S_n满足S_n=n²+1，数列{b_n}满足a_n=log₂$\frac{{b}_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）记{b_n}的前n项和为T_n，若T_n≤2015，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²+1，可得当n=1时，a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
由数列{b_n}满足a_n=log₂$\frac{{b}_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．可得$\frac{{b}_{n}+1}{{a}_{n}+1}$=${2}^{{a}_{n}}$，对n分类讨论可得：b₁．当n≥2时，b_n．
（2）当n≥2时，T_n=11+（2³+2⁵+…+2^2n-1）+[3+5+…+（2n-1）]，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．由T_n≤2015，即$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$≤2015．
解出即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²+1，
∴当n=1时，a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-[（n-1）²+1]=2n-1，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
∵数列{b_n}满足a_n=log₂$\frac{{b}_{n}+1}{{a}_{n}+1}$．
∴$\frac{{b}_{n}+1}{{a}_{n}+1}$=${2}^{{a}_{n}}$，
当n=1时，$\frac{{b}_{1}+1}{3}={2}^{2}$，解得b₁=11．
当n≥2时，${b}_{n}={2}^{2n-1}+2n-1$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{11，n=1}\\{{2}^{2n-1}+2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）当n≥2时，T_n=11+（2³+2⁵+…+2^2n-1）+[3+5+…+（2n-1）]
=11+$\frac{8（{4}^{n-1}-1）}{4-1}$+$\frac{（n-1）（3+2n-1）}{2}$
=11+$\frac{2}{3}×{4}^{n}$-$\frac{8}{3}$+n²-1
=$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$．
由T_n≤2015，即$\frac{2}{3}×{4}^{n}$+n²+$\frac{22}{3}$≤2015．
当n=5时，左边=715＜2015；当n=6时，左边=2774＞2015．
因此满足不等式T_n≤2015的n的最大值为5．

点评 本题考查了递推式、等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．