题目内容

5．已知数列{an}满足an=1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，若a2015=2，则a4=（　　）
A．-$\frac{1}{2}$B．2C．-1D．1

分析 通过an=1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$可知an+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，通过计算出前几项的值可知数列{an}是以3为周期的周期数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵an=1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴an+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
∴a2=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，
a3=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{1}}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}$，
a4=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}}$=a1，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
又∵2015=671×3+2，
∴a2015=a3=2，
∴a4=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．

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