Question

14．已知直线l：ax+by+c=0和点P（x₀，y₀），点P到直线l的有向距离d（P，l）用如下方法定义：若b≠0，d（P，l）=$\frac{|b||a{x}_{0}+b{y}_{0}+c|}{b\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，若b=0，d（P，l）=$\frac{a{x}_{0}+c}{a}$．
（1）已知直线l：3x-4y+12=0，求原点O到直线l的有向距离d（O，l）；
（2）求点A（-5，6）到直线m：2x+3=0的有向距离d（A，m）；
（3）已知点A（2，1）和点B（3，-1），是否存在通过点A的直线l，使得d（B，l）=2？如果存在，求出所有这样的直线l，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用有向距离的定义可得：d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{-4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$，或d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$；
（2）利用有向距离的定义可得d（A，m）=$\frac{2×（-5）+3}{2}$；
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x-2=0，此时d（B，l）=1≠2，舍去；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y-1=k（x-2），化为-kx+y-1+2k=0，假设d（B，l）=±$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可．

解答 解：（1）d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{-4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=-$\frac{12}{5}$，或d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{12}{5}$；
（2）∵b=0，∴点A（-5，6）到直线m：2x+3=0的有向距离d（A，m）=$\frac{2×（-5）+3}{2}$=-$\frac{7}{2}$；
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x-2=0，此时d（B，l）=$\frac{1×3-2}{1}$=1≠2，舍去；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y-1=k（x-2），化为-kx+y-1+2k=0，假设d（B，l）=$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，或d（B，l）=-$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2；
分别化为3k²-4k=0，或无解．
解得k=0或$\frac{4}{3}$．
∴存在直线l的方程为：y-1=0，或4x-3y-5=0．

点评 本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．