Question

7．设a，b，c∈R，且3^a=4^b=6^c，求证：$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 设3^a=4^b=6^c=t（t＞0），根据对数的定义得到a、b、c的值；然后由对数运算法则证得左边=右边即可．

解答 证明：设3^a=4^b=6^c=t（t＞0），则
a=log₃^t，b=log₄^t，c=log₆^t．
所以$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{lo{{g}_{6}}^{t}}$=2log_t⁶，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{lo{{g}_{3}}^{t}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{4}}^{t}}$=2log_t³+log_t⁴=log_t${\;}^{{3}^{2}×4}$=2log_t⁶，
所以$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查换底公式的应用，对数的运算性质，是基础题．