题目内容
已知函数
(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,求证:.
(Ⅰ)0(Ⅱ)(Ⅲ)当时,不等式等价于.ln>令,设,则′(t)=>0
在上单调递增,
解析试题分析:(Ⅰ),则.
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减,
所以,在处取得最大值,且最大值为0. 4分
(Ⅱ)由条件得在上恒成立.
设,则.
当 x∈(0,e)时,;当时,,所以,.
要使恒成立,必须.
另一方面,当时,,要使恒成立,必须.
所以,满足条件的的取值范围是. 8分
(Ⅲ)当时,不等式等价于.ln>
令,设,则′(t)=>0,
在上单调递增,,
所以,原不等式成立. 12分
考点:函数单调性与最值
点评:第一问通过函数导数求得单调区间极值进而得到最值,第二问中不等式恒成立求参数范围的题目常采用分离参数法,转化为求函数最值问题,第三问证明不等式要构造函数通过求解函数最值证明不等式,有一定的难度
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