题目内容
已知函数f (x) =
(1)试判断当的大小关系;
(2)试判断曲线和是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不存在,说明理由;
(3)试比较 (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……(1 +2012×2013)与的大小,并写出判断过程.
(1);
(2)方程无解,故二者没有公切线。
(3) (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……(1 +2012×2013) 。
解析试题分析:(1)设,则 1分
由,时, 2分
在区间单调递减,在区间单调递增, 3分
所以取得最小值为,即 4分
(2)假设曲线有公切线,切点分别为和 5分
因为,所以分别以和为切线的切线方程为 6分
令即 8分
令所以由得显然,当时,,当时,,所以, 9分
所以方程无解,故二者没有公切线。 10分
(3)由(1)得对任意的x>0都成立,
11分
ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]>
=令=2012, 13分
则ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013) >2×2012-3=4021,
所以(1 + 1×2) (1 + 2×3) ……(1 +2012×2013) 14分
考点:本题主要考查导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及比较大小问题,通过构造函数,转化成了研究函数的单调性及最值。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。