Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣m，g（x）=3ex﹣6（1﹣m）x﹣3（m∈R，e为自然对数底数）．
（1）试讨论函数f（x）的零点的个数；
（2）证明：当m＞0，且x＞0时，总有g（x）＞f'（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的零点即方程x3﹣3x2=m的根，

令h（x）=x3﹣3x2，则h′（x）=3x（x﹣2），

令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，

令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

故h（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，

而h（0）=0，h（2）=﹣4，

故m＞0或m＜﹣4时，函数1个零点，

m=0或m=﹣4时，函数2个零点，

﹣4＜m＜0时，函数3个零点

（2）证明：f′（x）=3x2﹣6x，

设h（x）=g（x）﹣f′（x）=3ex﹣3x2+6mx﹣3，（x＞0），

则h′（x）=3（ex﹣2x+2m），

令m（x）=ex﹣2x+2m，则m′（x）=ex﹣2，

令m′（x）＞0，解得：x＞ln2，

令m′（x）＜0，解得：x＜ln2，

故m（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，

故m（x）≥m（ln2）=2（m﹣ln2+1），

由m＞0，解得：m＞ln2﹣1，

故m（ln2）＞0，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，

故x＞0时，h（x）＞h（0）=0，

故m＞0且x＞0时，g（x）＞f'（x）

【解析】（1）问题转化为方程x3﹣3x2=m的根，令h（x）=x3﹣3x2 ， 根据函数的单调性求出h（x）的极值，通过讨论m的范围判断函数的零点个数即可；（2）设h（x）=g（x）﹣f′（x）=3ex﹣3x2+6mx﹣3，（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出h（x）＞h（0），从而证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．