题目内容
【题目】已知二次函数的图象过点(1,13),且函数
是偶函数.
(1)求的解析式;
(2)已知,
,求函数
在[
,2]上的最大值和最小值;
(3)函数的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析:(1)由是偶函数,知函数
的对称轴是
,再由二次函数性质可得;
(2)由(1),按
的正负分类去绝对值符号,得两个二次函数,配方得对称轴,再按对称轴与区间
的关系分类可求得最值;
(3)假设存在,并设点坐标P,其中
为正整数,
为自然数,则
,从而
,即
,注意到43是质数,且
,可得
,
,从而得解.
详解:(1)因为函数是偶函数,所以二次函数
的对称轴方程为
,故
.
又因为二次函数的图象过点(1,13),所以
,故
.
因此,的解析式为
.
(2) 当
时,
,
当时,
,
由此可知=0.
当,
;
当,
;
当,
;
(3)如果函数的图象上存在符合要求的点,设为P
,其中
为正整数,
为自然数,则
,从而
,
即.
注意到43是质数,且,
,所以有
解得
因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目