Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，且它的一个焦点 的坐标为 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过焦点 的直线与椭圆相交于 两点， 是椭圆上不同于 的动点，试求 的面积的最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，则 ．又由 ，可解得 ，
所以 ，
所以，椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）设过焦点 的直线为 ．
①若 的斜率不存在，则 ，即 ，
显然当 在短轴顶点 或 时， 的面积最大，
此时， 的最大面积为 .
②若 的斜率存在，不妨设为 ，则 的方程为 ．
设 ．
联立方程： 消去 整理得： ，
所以 则 ．
因为，当直线与 平行且与椭圆相切时，此时切点 到直线 的距离最大，
设切线 ，
联立 消去y 整理得： ，
由 ，解得： ．
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 .
将 代入得 ．
令 ，设函数 ，则 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 ．
故 时， 面积最大值是 ．显然 ，
所以，当 的方程为 时， 的面积最大，最大值为 ．
【解析】(1)由条件得到关于a,b,c的方程组求解.
(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论,设出直线的方程,代入椭圆方程消去y得关于x的一元二次方程,结合 韦达定理和弦长公式求出弦长,再求出与直线平行的切线方程,由切点到直线的距离不是三角形的高,将三角形的面积表示为m的函数式,先换元,再用导数求出函数的最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．