Question

如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

Answer 1

（I）．（II）．

试题分析：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．
 
所以，cos<>．         
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，
所以，异面直线BE与AC所成角的余弦值是．   
（II），，
设平面ABE的法向量为，
则由，，得，
取，
又因为
所以平面BEC的一个法向量为n₂＝（0，0，1），
所以．
由于二面角A－BE－C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，
所以，二面角A－BE－C的余弦值是．
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，应用空间向量，使问题解答得以简化。本解答利用了“向量法”，简化了证明过程，实现了“以算代证”。