Question

【题目】已知函数的定义域为,对任意实数,都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若为常数，函数是奇函数，

①验证函数满足题中的条件；

②若函数求函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) ， .（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先判断出函数为奇函数， ， ，解方程组即可得到答案；（2）①根据函数的奇偶性，求出a的值，进而根据对数的运算性质，计算f（x）+f（y）与.并进行比较，可得答案；②把函数的零点个数问题转化为两个图象的交点个数问题.

试题解析：

（1）对题中条件取，得，

再取，得，则，

即函数在内为奇函数.

所以，

又，

解得， .

（2）由函数是奇函数，得，则

此时，满足函数是奇函数，且有意义.

①由，得，则对任意实数,

有，

，

所以.

②由，得，令则

作出图像

由图可知，当时，只有一个，对应有3个零点；

当时，只有一个，对应只有一个零点；

当时， ，此时， ， ，

由

得在时， ，三个分别对应一个零点，共3个，

在时， ，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个.

综上所述，当时，函数只有1零点；

当 或时，函数有3零点；

当时，函数有5点.