题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,对任意实数
,都有
.
(1)若,
,且
,求
,
的值;
(2)若为常数,函数
是奇函数,
①验证函数满足题中的条件;
②若函数求函数
的零点个数.
【答案】(1) ,
.(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先判断出函数为奇函数, ,
,解方程组即可得到答案;(2)①根据函数的奇偶性,求出a的值,进而根据对数的运算性质,计算f(x)+f(y)与
.并进行比较,可得答案;②把函数的零点个数问题转化为两个图象的交点个数问题.
试题解析:
(1)对题中条件取,得
,
再取,得
,则
,
即函数在
内为奇函数.
所以,
又,
解得,
.
(2)由函数是奇函数,得
,则
此时,满足函数
是奇函数,且
有意义.
①由,得
,则对任意实数
,
有,
,
所以.
②由,得
,令
则
作出图像
由图可知,当时,只有一个
,对应有3个零点;
当时,只有一个
,对应只有一个零点;
当时,
,此时
,
,
,
由
得在时,
,三个
分别对应一个零点,共3个,
在时,
,三个
分别对应1个,1个,3个零点,共5个.
综上所述,当时,函数
只有1零点;
当 或
时,函数
有3零点;
当时,函数
有5点.

【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关,某数学兴趣小组为了验证此结论,从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学(男生30人、女生20人),给每位同学立体几何题、代数题各一道,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统计如下表:(单位:人)
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关?
(2)经统计得,选择做立体几何题的学生正答率为,且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍,现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记抽取的两人中答对的人数为
,求
的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】(本小题12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩记录如下:
甲 | 82 | 82 | 79 | 95 | 87 |
乙 | 95 | 75 | 80 | 90 | 85 |
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.
【题目】小明同学在寒假社会实践活动中,对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温
(
)与该奶茶店的
品牌饮料销量
(杯),得到如表数据:
日期 | 1月11号 | 1月12号 | 1月13号 | 1月14号 | 1月15号 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先从这五组数据中抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程式
;
(3)根据(2)所得的线性回归方程,若天气预报1月16号的白天平均气温为,请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过的有20人,不超过
的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过
的有5人,不超过
的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为平均车速超过
的人与性别有关;
平均车数超过
| 平均车速不超过
| 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为
,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列和数学期望
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.150 | 0.100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |