题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆
上,点
在直线
上,且
,求证:
为定值;
(3)设点在椭圆
上运动,
,且点
到直线
的距离为常数
,求动点
的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形,求出
,可得椭圆方程;(2)设
,则
的方程为:
,由
得
点坐标,可证明
.(3) 设
,由
得
,又
点在椭圆上得:
,从而
化简可得
的轨迹方程.
试题解析:
解:(1)由条件可得,
椭圆的方程为
.
(2)设,则
的方程为:
,
由得:
所以
.
(3)设,由
得
①
又点在椭圆上得:
②
联立①②可得 ,
③
由得
,
即
可得,
将③代入得:
化简得点轨迹方程为:
.
点睛:本题考查圆锥曲线的标准方程,曲线与方程,直线与椭圆的位置关系以及定值问题,属于中档题目.证明定值问题,先设出点坐标,根据
求出直线
的方程,再根据
点在
上求出坐标, 证明
为定值,利用两点间距离公式代入坐标,根据点在曲线上两元换一元,分子分母成倍数关系,即为定值.
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