题目内容
【题目】如图,在矩形中,
,
为边
的中点,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且使平面
平面
.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由,
可得
,利用平面
平面
,可得
平面
,则
,由折叠知
,进而得证;
(2)以的中点
为坐标原点,以
的方向为
轴正方向,过点
分别做
和
的平行线,分别为
轴和
轴,建立如图所示空间直角坐标系
,分别求得平面
的法向量和平面
的法向量,进而利用数量积求解即可
(1)证明:由题意,又
,所以
,
又平面平面
,且平面
平面
,所以
平面
,
故,又
,且
,所以
平面
(2)以的中点
为坐标原点,以
的方向为
轴正方向,过点
分别做
和
的平行线,分别为
轴和
轴,建立如图所示空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
设为平面
的法向量,则有
则,即
,可取
,
设为平面
的法向量,则有
则,即
,可取
,
所以,
则二面角余弦值为
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