题目内容
【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
【答案】
(1)证明:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D(
,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0,
,
),F(
,
,0),所以
=(
,0,﹣
),
=(0,2,0),因此
=0,所以EF⊥BC.
(2)解:在图中,设平面BFC的一个法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量
=(x,y,z),又
=(
,
,0),
=(0,
,
),
由 得其中一个
=(1,﹣
,1),
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则
cosθ=|cos< ,
>|=|
|=
,
因此sinθ= =
,即所求二面角正弦值为
.
【解析】(1)以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到E、F、B、C点的坐标,易求得此
=0,所以EF⊥BC;(2)设平面BFC的一个法向量
=(0,0,1),平面BEF的法向量
=(x,y,z),依题意,可求得一个
=(1,﹣
,1),设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,可求得sinθ的值.
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