Question

8．已知关于x的不等式log₂（|x+1|-|x-3|）＜m．
（1）当m=2时，解此不等式；
（2）设函数f（x）=log₂（|x+1|-|x-3|），若f（x）≤m恒成立，试求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得0＜|x+1|-|x-3|＜4，对x讨论，当x≤-1时，当x≥3时，当-1＜x＜3时，去掉绝对值，解不等式即可得到；
（2）由绝对值不等式的性质，可得f（x）的最大值，运用恒成立思想，即可得到k的最小值．

解答 解：（1）m=2时，log₂（|x+1|-|x-3|）＜2，
即为0＜|x+1|-|x-3|＜4，
当x≤-1时，不等式为0＜-4＜4不成立；
当x≥3时，不等式即为0＜4＜4不成立；
当-1＜x＜3时，不等式即为0＜2x-2＜4，解得1＜x＜3．
综上可得，不等式的解集为（1，3）；
（2）由||x+1|-|x-3||≤|（x+1）-（x-3）|=4，
可得函数f（x）=log₂（|x+1|-|x-3|）≤log₂4=2，
当x≥3时，取得最大值2，
f（x）≤m恒成立，即有m≥2，
则m的最小值为2．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，考查对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．