Question

4．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}&{x＞0}\\{{2^x}，}&{x≤0}\end{array}}\right.$，则f（f（9））=$\frac{1}{4}$，若f（a）＞$\frac{1}{2}$，则实数a的取值范围是（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用分段函数求法第一问，通过分类讨论求解指数与对数不等式解答第二问．

解答 解：函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}&{x＞0}\\{{2^x}，}&{x≤0}\end{array}}\right.$，则f（f（9））=f（-2）=2^-2=$\frac{1}{4}$．
当a＞0时，${log}_{\frac{1}{3}}a＞\frac{1}{2}$，可得：a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当a≤0时，${2}^{a}＞\frac{1}{2}$，解得a＞-1，
综上a∈（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：$\frac{1}{4}$；（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，指数以及对数不等式的解法，考查计算能力．