题目内容

已知函数y=logax,当x>2 时恒有|y|>1,则a的取值范围是
[
1
2
,1)∪(1,2]
[
1
2
,1)∪(1,2]
分析:当a>1时,函数y=logax是增函数,由|y|>1可得loga2≥1,由此求得a的取值范围.当0<a<1时,函数
y=logax是减函数,由|y|>1可得-loga2≥1,由此求得a的取值范围.再把a的取值范围取并集,即得所求.
解答:解:当a>1时,函数y=logax是增函数,x>2 时,函数值为正实数,故由|y|>1可得loga2≥1,
解得 1<a≤2.
当0<a<1时,函数y=logax是减函数,x>2 时,函数值为负实数,故由|y|>1可得-loga2≥1,
化简得 loga2≤-1=loga
1
a
,2≥
1
a
>0,解得 1>a≥
1
2

综上可得,a的取值范围是[
1
2
,1)∪(1,2],
故答案为[
1
2
,1)∪(1,2].
点评:本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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