题目内容
(本小题满分14分)如图所示,在四棱锥
中,
平面
,
,
,
,
是
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)若
,
,
,求二面角
的正切值.








(1)证明:


(2)若





解:(1)证明:∵
平面
,∴
。
∵
,
是
的中点
∴
为△
中
边上的高,
∴
。
∵
,
∴
平面
。……………………6分
(2)方法1:延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB
过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知
平面
,则PH⊥BC
又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角……………9分
在△FDC中,∵PH=1,AD=1,∴PD=
∵
平面
,
,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=
,∴CD=4
∵
,∴AB=2,∴BD=
,
∴AB是△FCD的中位线,FD=CD
∴BD⊥CF
∴HE=
∵PH=1,∴
……………14分
方法2:由(1)知
平面
,如图建立空间直角坐标系.

∵PH=1,AD=1,∴PD=
∵
平面
,
,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=
,∴CD=4
∴
设平面BCD、平面PBC的法向量分别为
则
,设
∵
,令
,则
,设二面角P-BC-D为
,
则
,故



∵



∴



∴

∵

∴


(2)方法1:延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB
过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知


又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角……………9分
在△FDC中,∵PH=1,AD=1,∴PD=

∵



∴CD⊥PD,∵PC=

∵


∴AB是△FCD的中位线,FD=CD
∴BD⊥CF
∴HE=

∵PH=1,∴

方法2:由(1)知



∵PH=1,AD=1,∴PD=

∵



∴CD⊥PD,∵PC=

∴

设平面BCD、平面PBC的法向量分别为

则


∵





则


本试题主要是考查了线面垂直和二面角的求解的综合运用。
(1)因
平面
,∴
。∵
,
是
的中点
∴
为△
中
边上的高,∴
。∵
,
∴
平面
(2)延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知
平面
,则PH⊥BC又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角,然后利用解三角形得到结论。
(1)因






∴





∴


(2)延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知


∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角,然后利用解三角形得到结论。

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