题目内容

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.

【答案】(1) 当时, 的单调递增区间为,无减区间,

时, 的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)2.

【解析】试题分析:

(1)首先对函数求导,然后对参数分类讨论可得当时, 的单调递增区间为,无减区间,

时, 的单调递增区间为,单调递减区间为;

(2)将原问题转化为上恒成立,考查函数的性质可得整数的最小值是2.

试题解析:

(1) ,函数的定义域为.

时, ,则上单调递增,

时,令,则 (舍负),

时, 为增函数,

时, 为减函数,

∴当时, 的单调递增区间为,无减区间,

时, 的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)解法一:由

∴原命题等价于上恒成立,

,则上单调递增,

∴存在唯一,使 .

∴当时, 为增函数,

时, 为减函数,

时,

,则

,所以.

故整数的最小值为2.

解法二: 得,

时, 上单调递减,

,∴该情况不成立.

时,

时, 单调递减;

时, 单调递增,

恒成立

.

,显然为单调递减函数.

,且

∴当时,恒有成立,

故整数的最小值为2.

综合①②可得,整数的最小值为2.

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