题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(1) 当时,
的单调递增区间为
,无减区间,
当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;(2)2.
【解析】试题分析:
(1)首先对函数求导,然后对参数分类讨论可得当时,
的单调递增区间为
,无减区间,
当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2)将原问题转化为在
上恒成立,考查函数
的性质可得整数
的最小值是2.
试题解析:
(1) ,函数
的定义域为
.
当时,
,则
在
上单调递增,
当时,令
,则
或
(舍负),
当时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
∴当时,
的单调递增区间为
,无减区间,
当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)解法一:由得
,
∵,
∴原命题等价于在
上恒成立,
令,
则,
令,则
在
上单调递增,
由,
,
∴存在唯一,使
,
.
∴当时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
∴时,
,
∴,
又,则
,
由,所以
.
故整数的最小值为2.
解法二: 得,
,
令,
,
①时,
,
在
上单调递减,
∵,∴该情况不成立.
②时,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
∴,
恒成立
,
即.
令,显然
为单调递减函数.
由,且
,
,
∴当时,恒有
成立,
故整数的最小值为2.
综合①②可得,整数的最小值为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目