题目内容
【题目】已知函数
与
.
（1）若曲线
与曲线
恰好相切于点
，求实数
的值；
（2）当
时，
恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
. 
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）先求出导函数
由
，解方程可得；
（2）由 
在
恒成立的必要条件为
得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意
，总有
；（3）由（2）知：时
，令
，化简可得
，再令
，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.
试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得.
（2）令
，则
，
在恒成立的必要条件为.即
，
又当时，
，
，令
，则
，即
，
在递减
，即
，在恒成立的充分条件为.综上，可得：
（3）设
为
的前n项和，则
，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时
即：（当且仅当
时取等号）.令，则
，即：
，即, 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证
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