Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an ， 求{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1 ， 即an=3n﹣1 ，
所以an= ．
（Ⅱ）因为anbn=log3an ， 所以b1= ，
当n＞1时，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ，
所以T1=b1= ；
当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2Tn= +（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）= + ﹣（n﹣1）×31﹣n= ﹣ ，
所以Tn= ﹣ ，经检验，n=1时也适合，
综上可得Tn= ﹣
【解析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1 ， 可求得an=3n﹣1 ， 从而可得{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，anbn=log3an ， 可得b1= ，当n＞1时，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ， 于是可求得T1=b1= ；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×31+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn ．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．