Question

12．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）为奇函数”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：若a=1时，f（x）=ln（1+$\frac{2}{x-1}$）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
由$\frac{x+1}{x-1}＞0$，解得x＜-1或x＞1，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称；
又f（-x）+f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$+ln$\frac{-x+1}{-x-1}$=ln（$\frac{x+1}{x-1}$•$\frac{x-1}{x+1}$）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．即充分性成立．
若f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）为奇函数，则f（-x）+f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）+ln（a+$\frac{2}{-x-1}$）=0，
化为（a-1）[（a+1）（x²-1）+4]=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，
由上面可知a=1满足题意，即必要性成立．
故“a=1”是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）为奇函数”的充要条件．
故选：C．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合对数的运算性质是解决本题的关键．