题目内容
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosB=bcosA.(1)求$\frac{b}{a}$的值;
(2)若sinA=$\frac{1}{3}$,求sin(C-$\frac{π}{4}$)的值.
分析 (1)应用正弦定理和已知条件可得 $\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$,进而得到sin(A-B)=0,故有A-B=0,得到$\frac{b}{a}$=1.
(2)由(1)可得A=B,A为锐角,利用同角三角函数关系式可求cosA,利用倍角公式可求sin2A,cos2A的值,结合三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值.
解答 解:∵在△ABC中,acosB=bcosA,
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{cosA}{cosB}$,又由正弦定理可得 $\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$,
∴$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$,sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0.
由-π<A-B<π 得,A-B=0,
∴a=b,即$\frac{b}{a}$=1.
(2)∵A=B,A+B+C=π,A为锐角,sinA=$\frac{1}{3}$,
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$,cos2A=2cos2A-1=$\frac{7}{9}$,
∴sin(C-$\frac{π}{4}$)=sin(π-2A-$\frac{π}{4}$)=sin(2A+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(sin2A+cos2A)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$($\frac{4\sqrt{2}}{9}$+$\frac{7}{9}$)=$\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$.
点评 本题考查了三角形的形状判断,考查了三角形内角和定理,涉及的知识有正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的图象与性质,根据三角函数值求角的大小,推出sin(A-B)=0 是解题的关键.
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
①{0,1,2,…,99};②{三角形};③{x|x<3,x∈N};④{x|x2+1=0,x∈R}.
A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ①③④ |