Question

【题目】已知.

（1）若，求曲线的单调性；

（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上为减函数;（2）

【解析】试题分析：（1）求导得到，进行二阶导，得到时， ，即，所以在上为减函数；（2），得，对分， ， ， 四类讨论，最后解得答案。

试题解析：

（1）当时， ， ，设，

则，当时， ，

当时， ，所以在单调递增，在上为减函数，

又 ，所以当时， ，即，所以在上为减函数，

（2）由已知得，则，

记，则，

①若，则当时， ，故函数在上单调递增，

且当时， ，即；当时， ，

即，又，所以在处取得极小值不满足题意.

②若时，当时， ，故函数在上单调递增，

且当时， ，即；当时， ，

即，又，所以在处取极小值不满足题意.

③若，则当时，故在上单调递增；

当时， ，故在上单调递减，所以当时， ，

即，故在上点掉递减，不满足题意.

④若，则，当时， ，故在上单调递减，

且当时， ，即；当时， ，

即，又，所以在处取得极大值，满足题意，

综上，实数的取值范围是.