Question

14．求下列数列的通式：
（1）1，$\frac{1}{3}$，$\frac{9}{35}$，$\frac{17}{63}$，$\frac{33}{99}$，…
（2）$\frac{4}{5}$，-1，$\frac{10}{17}$，-$\frac{13}{31}$，$\frac{16}{65}$，…

Answer 1

分析 根据数列项的特点，找出规律性即可得到结论．

解答 解：（1）1，$\frac{1}{3}$，$\frac{9}{35}$，$\frac{17}{63}$，$\frac{33}{99}$，…
等价为$\frac{3}{3}$，$\frac{5}{15}$，$\frac{9}{35}$，$\frac{17}{63}$，$\frac{33}{99}$，…
即$\frac{1+{2}^{1}}{{2}^{2}-1}$，$\frac{1+{2}^{2}}{{4}^{2}-1}$，$\frac{1+{2}^{3}}{{6}^{2}-1}$，$\frac{1+{2}^{4}}{{8}^{2}-1}$，$\frac{1+{2}^{5}}{1{0}^{2}-1}$．
则对应的通项公式为a_n=$\frac{1+{2}^{n}}{（2n）^{2}-1}$．
（2）$\frac{4}{5}$，-1，$\frac{10}{17}$，-$\frac{13}{31}$，$\frac{16}{65}$，…
等价为$\frac{4}{5}$，-$\frac{7}{7}$，$\frac{10}{17}$，-$\frac{13}{31}$，$\frac{16}{65}$，
即$\frac{4}{4+1}$，-$\frac{4+3}{8-1}$，$\frac{4+3×2}{16+1}$，-$\frac{4+3×3}{32-1}$，$\frac{4+3×4}{64+1}$，
即$\frac{4}{{2}^{2}+1}$，-$\frac{4+3}{{2}^{3}-1}$，$\frac{4+3×2}{{2}^{4}+1}$，-$\frac{4+3×3}{{2}^{5}-1}$，$\frac{4+3×4}{{2}^{6}+1}$，
故数列的一个通项公式为a_n=$\frac{4+3（n-1）}{{2}^{n+1}+（-1）^{n+1}}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的规律是解决本题的关键．