Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，那么a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [4，8）
• C． （4，8）
• D． （1，8）

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 4-\frac{a}{2}＞0\\ 4-\frac{a}{2}+2≤a\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 4-\frac{a}{2}＞0\\ 4-\frac{a}{2}+2≤a\end{array}\right.$，
解得：a∈[4，8），
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．