Question

【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上一点，若的内切圆半径为1,且圆心到原点的距离为，则双曲线的离心率是__________.

Answer 1

【答案】

【解析】设P为第一象限的点，圆与F1F2,PF1,PF2的切点分别为A′，B，D.

∵|PF1||PF2|=2a,|PD|=|PB|,|DF1|=|A′F1|,|BF2|=|A′F2|，

即为|PD|+|DF1||PB||BF2|=|DF1||BF2|=|A′F1||A′F2|=2a，

且|A′F1|+|A′F2|=2c,可得|A′F2|=ca，则A与A′重合，则|OA′|=|OA|=a，

故，即a=2.

又△PF1F2的面积，

∴|PF1|+|PF2|=3c，∵|PF1||PF2|=2a，∴，

,联立化简得x0=3.

P代入双曲线方程,联立解得，

即有双曲线的离心率为.