Question

13．已知函数f（x）=x-klnx，常数k＞0．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，根据x=1是函数f（x）的一个极值点，可求k的值，令f′（x）＞0，可得函数F（x）的单调递增区间，令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（2）根据函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，可得g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即k≤$\frac{2x}{1+lnx}$对x∈（1，2）恒成立，求出最小值，即可求得k的取值范围．

解答 解（1）：求导函数，可得f′（x）=1-$\frac{k}{x}$，因为x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0，
∴k=1，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（-∞，0），
∵x＞0，
∴x∈（1，+∞）
令f′（x）＜0，可得x∈（0，1），
故函数F（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（2）：因为函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，则g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即k≤$\frac{2x}{1+lnx}$对x∈（1，2）恒成立，
令h（x）=$\frac{2x}{1+lnx}$
∴h′（x）=$\frac{2lnx}{（1+lnx）^{2}}$对x∈（1，2）恒成立．
所以h（x）在（1，2）单调递增，h_min（x）＞h（1）=2，
∴k≤2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值．