题目内容

3．用定义证明函数y=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为增函数．

分析 利用单调性的定义来证明，基本步骤是取值、作差、判正负和下结论．

解答 证明：任取区间[1，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0；
∴f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x1-x2）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在区间[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了利用函数的单调性定义来证明单调性问题，其关键步骤是作差后的因式分解，是基础题目．

练习册系列答案
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13．已知函数f（x）=x-klnx，常数k＞0．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．
14．函数y=ln（x2-x）+$\sqrt{4-{2^x}}$的定义域为（　　）
A．（1，+∞）∪（-∞，0）B．（1，2]∪（-∞，0）C．（-∞，0）D．（-∞，2]
11．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin2x，x∈R，将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求：
（I）函数g（x）的解析式和单调递增区间；
（Ⅱ）函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最值．
18．在80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取3件．求3件都是一等品的概率．
8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$与x-y+m=0有两个交点，则m的范围为（-1，0]．
15．四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功．否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有两人游戏成功的概率为（　　）
A．$\frac{1}{27}$B．$\frac{8}{27}$C．$\frac{11}{27}$D．$\frac{8}{9}$
12．已知等比数列{an}中，a1-a3+a5=2，a3-a5+a7=5，那么a5-a7+a9=（　　）
A．8B．15C．25D．$\frac{25}{2}$
13．对于数列{an}，a1=4，an+1=f（an），依照下表则a2015等于（　　）
X12345
F（x）54312
A．2B．3C．4D．5

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